O Schwarzschildovej Metrike
Schwarzschildova metrika popisuje zakrivenie priestoru okolo sféricky symetrického neotáčajúceho sa hmotného objektu (napr. čiernej diery) vo všeobecnej teórii relativity.
Schwarzschildova metrika v sférických súradniciach \((t, r, \theta, \phi)\) je daná rovnicou:
\[
ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2)
\]
kde \( r_s \) je Schwarzschildov polomer:
\[
r_s = \frac{2GM}{c^2}
\]
Efektívna radiálna vzdialenosť \( R(r) \) je daná integrálom:
\[
R(r) = \int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r'}}}
\]
Tento integrál môže byť vyjadrený analyticky ako:
\[
R(r) = \sqrt{r(r - r_s)} + r_s \ln \left( \frac{\sqrt{r} + \sqrt{r - r_s}}{\sqrt{r_s}} \right) - \left( \sqrt{r_0(r_0 - r_s)} + r_s \ln \left( \frac{\sqrt{r_0} + \sqrt{r_0 - r_s}}{\sqrt{r_s}} \right) \right)
\]
kde \( r_0 \) je referenčný bod (zvyčajne tesne nad Schwarzschildovým polomerom \( r_s \)).
Metóda vizualizácie: Táto vizualizácia zobrazuje zakrivený priestor okolo čiernej diery podľa Schwarzschildovej metriky. Efektívna radiálna vzdialenosť \( R(r) \) reprezentuje vlastnú vzdialenosť meranú v zakrivenom priestore, pričom zobrazuje, ako sa priestor "rozťahuje" smerom k horizontu udalostí.
About the Schwarzschild Metric
The Schwarzschild metric describes the curvature of space around a spherically symmetric non-rotating massive object (e.g., a black hole) in general relativity.
The Schwarzschild metric in spherical coordinates \((t, r, \theta, \phi)\) is given by the equation:
\[
ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta \, d\phi^2)
\]
where \( r_s \) is the Schwarzschild radius:
\[
r_s = \frac{2GM}{c^2}
\]
The effective radial distance \( R(r) \) is given by the integral:
\[
R(r) = \int_{r_0}^{r} \frac{dr'}{\sqrt{1 - \frac{r_s}{r'}}}
\]
This integral can be expressed analytically as:
\[
R(r) = \sqrt{r(r - r_s)} + r_s \ln \left( \frac{\sqrt{r} + \sqrt{r - r_s}}{\sqrt{r_s}} \right) - \left( \sqrt{r_0(r_0 - r_s)} + r_s \ln \left( \frac{\sqrt{r_0} + \sqrt{r_0 - r_s}}{\sqrt{r_s}} \right) \right)
\]
where \( r_0 \) is a reference point (usually just above the Schwarzschild radius \( r_s \)).
Visualization Method: This visualization depicts the curvature of space around a black hole according to the Schwarzschild metric. The effective radial distance \( R(r) \) represents the proper distance measured in curved space, illustrating how space is "stretches" towards the event horizon.